Grundlagen der Computer-Arithmetik

Obwohl man annehmen kann, daB das gerundete Rechnen so alt ist wie das Rechnen mit Zahlen iiberhaupt, hat es eine ausgedehnte und systematische Anwendung erst durch die neuzeitlichen Digitalrechenanlagen gefunden. Die zwangslliufige Begrenzung sowohl des Gesamtspeichers wie der Bitanzahl der einzelnen Speicherzellen und Register bedingt bei jeder Zahldarstellung eine Einschrlinkung eines theoretischen, idealisierten, unendlichen Zahlenbereiches auf eine endliche Teilmenge, in der die realen arithmetischen Operationen konstruktiv erfolgen. Infolgedessen stimmen die Regeln fiir dieses "gerundete" Rechnen im realen Bereich mit denen des Rechnens im idealen Bereich nicht iiberein und verschiedene der klassischen Eigenschaften arithmetischer Ver­ kniipfungen, beispielsweise im Korper der rationalen Zahlen die Assoziativitlit und Distributivitlit, gehen bei Rundung verloren. Der gerundete Bereich sowie die konstruktiv auszufiihrenden arithmetischen Operationen sind natiirlich nicht Selbstzweck, sondem sie sollen in zu definierendem Sinne eine Approximation zunI idealen Bereich und zu den idealen arithmetischen Operationen darstellen. Seit einigen lahren bestehen nun Versuche und Teilergebnisse zu einer axio­ matischen Begriindung und einer Theorie des gerundeten Rechnens. Diese bezie­ hen sich einerseits auf die Konstruktionsvorschrift und deren Realisierung, nach der den idealen Zahlen bzw. einer konstruktiv darstellbaren Untermenge hier­ von gerundete Zahlen zuzuordnen sind, urn gewisse Kriterien zu erfiiIlen, z. B. Minimisierung der Abweichung des Nliherungsergebnisses yom exakten Ergeb­ nis bei Auswertung eines arithmetischen Ausdruckes mit verschiedenen Daten im statistischen Mittel, Ausgabe eines moglichst "kleinen" Zahlenbereiches, in dem das Ergebnis einer idealen Rechnung mit Sicherheit (Intervall-Arithmetik) oder mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit liegt.