Direkte Methoden der Variationsrechnung

Die Methoden der Variationsrechnung stellen ein wichtiges Hilfsmittel zur Behandlung von Randwertaufgaben dar, soweit sie auf ein Extremalproblem zurückgeflihrt werden können. Bei einer großen Klasse von Randwertaufgaben der Kontinuumsmechanik und der mathematischen Physik ist dies der Fall. Dort handelt es sich in erster Linie um Randwertaufgaben rur partielle Differentialgleichungen, und diese haben wir auch als Anwendungsbeispiele speziell im Auge. Die Methoden der Variationsrechnung sind in zweierlei Hinsicht von Bedeutung. Zum einen lassen sich mit ihrer Hilfe im Sinne der "direkten Methode der Variationsrech­ nung" (C 0 u r a n und t H i I b e r [I], t Band 2) konstruktive Existenzbeweise rur die Lösung des Problems gewinnen. Man siehe hierzu etwa auch N e c a [I] s sowie Mi chi i n [I], [2]. Zum anderen lassen sich aber die konstruktiven Existenzbeweise auch zu numerischen Verfahren zur genäherten Berechnung der Lösung ausbauen. Zu den bekanntesten Variationsmethoden gehören im Falle linearer Randwertaufgaben die Fehlerquadratmethode, die Energiemethode (Methode von Rayleigh und Ritz), die Methode der orthogonalen Projektion sowie die Hyperkreismethode von Prager und Synge. Ziel der vorliegenden Einflihrung ist unter anderem, diese Methoden mit ihren wechselseitigen Beziehungen darzustellen.